Định nghĩa

Cho U {\displaystyle U} là một tập con không rỗng của R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , đường kính của U {\displaystyle U} , ký hiệu | U | {\displaystyle |U|} , được định nghĩa là | U | = sup { | x − y | : x , y ∈ U } {\displaystyle |U|=\sup {\Big \{}|x-y|:x,y\in U{\Big \}}} . Cho F ⊂ R n {\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}} , nếu { U i } {\displaystyle \{U_{i}\}} là một họ đếm được (hay hữu hạn) những tập hợp thỏa F ⊂ ⋃ i = 1 ∞ U i {\displaystyle F\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}} và 0 < | U i | ≤ δ {\displaystyle 0<|U_{i}|\leq \delta } với mỗi i {\displaystyle i} , thì { U i } {\displaystyle \{U_{i}\}} được gọi là một δ {\displaystyle \delta } -phủ của F.Giả sử F {\displaystyle F} là một tập con của R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} và s {\displaystyle s} là một số không âm. Với mỗi δ > 0 {\displaystyle \delta >0} , đặt

H δ s ( F ) = inf { ∑ i = 1 ∞ | U i | s : { U i }    is a    δ -cover of F } {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)=\inf {\Big \{}\sum _{i=1}^{\infty }|U_{i}|^{s}:\{U_{i}\}\ {\text{ is a }}\ \delta {\text{-cover of F}}{\Big \}}}

Độ đo Hausdorff s-chiều của F {\displaystyle F} , ký hiệu là H s ( F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)} được định nghĩa là H s ( F ) = lim δ → 0 H δ s ( F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)=\lim _{\delta \rightarrow 0}{\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)} .

Ở đây ta cho phép giới hạn bằng ∞ {\displaystyle \infty } . Định nghĩa trên xác định vì khi δ {\displaystyle \delta } giảm thì số bao phủ của F {\displaystyle F} giảm. Do đó H δ s ( F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)} tăng, vì vậy H δ s ( F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)} hội tụ khi δ → 0 {\displaystyle \delta \rightarrow 0} .

Tính chất

1. H s ( ∅ ) = 0. {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(\emptyset )=0.}
2. H s ( F ) ≤ H s ( E ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)\leq {\mathcal {H}}^{s}(E)} nếu F ⊂ E {\displaystyle F\subset E} .
3. H s ( ⋃ i = 1 ∞ F i ) = ∑ i = 1 ∞ H s ( F i ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}{\Big (}\bigcup _{i=1}^{\infty }F_{i}{\Big )}=\sum _{i=1}^{\infty }{\mathcal {H}}^{s}(F_{i})} nếu { F i } {\displaystyle \{F_{i}\}} là một họ đếm được của những tập Borel rời nhau.
4. Nếu F là một tập Borel của R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , thì c n H n ( F ) = L n ( F ) , {\displaystyle c_{n}{\mathcal {H}}^{n}(F)={\mathcal {L}}^{n}(F),} trong đó L n ( F ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{n}(F)} là độ đo Lebesgue của F trong R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , c n {\displaystyle c_{n}} là thể tích của quả cầu đơn vị trong R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .

Định lý

1. Nếu F ⊂ H n {\displaystyle F\subset \mathbb {H} ^{n}} và λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} thì H s ( λ F ) = λ s H s ( F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(\lambda F)=\lambda ^{s}{\mathcal {H}}^{s}(F)} với λ F = { λ x : x ∈ F } {\displaystyle \lambda F=\{\lambda x:x\in F\}} .
2. Cho F ⊂ R n {\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}} và f : F → R m {\displaystyle f:F\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} thỏa

| f ( x ) − f ( y ) | R m ≤ c | x − y | R n α   ( x , y ∈ F ) , {\displaystyle |f(x)-f(y)|_{\mathbb {R} ^{m}}\leq c|x-y|_{\mathbb {R} ^{n}}^{\alpha }\ (x,y\in F),}

với c > 0 {\displaystyle c>0} và α > 0 {\displaystyle \alpha >0} thì với mỗi s ≥ 0 {\displaystyle s\geq 0} , H s / α ( f ( F ) ) ≤ c s / α H s ( F ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s/\alpha }(f(F))\leq c^{s/\alpha }{\mathcal {H}}^{s}(F).}